Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D，交BC于点E，连接BD．
（1）线段BD与ID相等吗？证明你的结论．
（2）证明：ID²=DE•AD．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接BI，证∠BIED∠IBD即可；∠IBD=∠4+∠5，∠BID=∠2+∠3；观察上述两个式子：I是△ABC的内心，则∠3=∠4，∠1=∠2；而∠1=∠5，由此可得∠5=∠2；即∠BID=∠IBD，由此得证；
（2）由（1）知：ID=BD，即证BE是哪两条线段的比例中项，可通过找以BD为公共边的相似三角形；由（1）证得∠5=∠2，易证得△BED∽△ABD，由此可得出所求的结论．

解答：解：（1）ID=BD，
理由：∵I是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4；
∵∠BID=∠3+∠2，∠DBI=∠4+∠5，且∠5=∠1，
∴∠BID=∠DBI；
∴ID=BD；

（2）证明：如图所示：
∵∠5=∠1，∠1=∠2；
∴∠5=∠2；
又∵∠D=∠D，
∴△BDE∽△ADB；
∴BD：DE=AD：BD；
∴BD²=AD•DE；
又∵ID=BD，
∴ID²=AD•DE．

点评：本题考查了三角形的内切圆和内心的以及等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，得出△BDE∽△ADB是解题关键．