Question

11．如图，圆E是三角形ABC的外接圆，∠BAC=45°，AO⊥BC于O，且BO=2，CO=3，分别以BC、AO所在直线建立x轴．
（1）求三角形ABC的外接圆直径；
（2）求过ABC三点的抛物线的解析式；
（3）设P是（2）中抛物线上的一个动点，且三角形AOP为直角三角形，则这样的点P有几个？（只需写出个数，无需解答过程）

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接EB、EC．由BC=OB+OC=5，∠BEC=2∠BC=90°，可知EB=EC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
（2）如图2中，作EM⊥BC于M，EN⊥OA于N，连接AE，则四边形EMON是矩形．利用勾股定理求出点A、B、C三点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（3）①以OA为直径画圆与抛物线有4个交点，根据直径所对的圆周角是直角，可知这样有4个点P满足条件．②当PA⊥OA时，有一个点P满足条件．③当PO⊥OA时，有两个点P满足条件．

解答 解：（1）如图1中，连接EB、EC．

∵BC=OB+OC=5，∠BEC=2∠BC=90°，
∴EB=EC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴⊙E的直径为$5\sqrt{2}$．

（2）如图2中，作EM⊥BC于M，EN⊥OA于N，连接AE，则四边形EMON是矩形．

在Rt△EMC中，EM=ON=$\sqrt{E{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，OM=NE=OC-CM=$\frac{1}{2}$，
在Rt△EN中，AN=$\sqrt{A{E}^{2}-E{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{7}{2}$，
∴OA=AN+ON=6，
∴A（0，6），B（-2，0），C（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-3），把（0，6）的坐标代入得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+6．

（3）如图3中，

①以OA为直径画圆与抛物线有4个交点，根据直径所对的圆周角是直角，可知这样有4个点P满足条件．
②当PA⊥OA时，有一个点P满足条件．
③当PO⊥OA时，有两个点P满足条件．
所以满足条件的点P有6个．

点评 本题考查二次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用直径所对的圆周角是直角寻找直角，所以中考压轴题．