Question

如图（1）所示：等边△中，线段为其内角平分线，过点的直线于交的延长线于.

（1）请你探究：，是否成立?

（2）请你继续探究：若△为任意三角形，线段为其内角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断.

（3）如图（2）所示△中，，,,为上一点且，交其内角角平分线与.试求的值.

Answer 1

解：（1）因为ΔABC是等边三角形，所以AB=BC=CA，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°。

又线段为∠BAC的平分线，∴BD=DC，∠BAD=∠DAC=30°

∴。………………………………………………………1分

∵，在RtΔAC₁B₁中，∠C₁AB₁=60°，

则∠B₁=30°，AB₁= 2A C₁……………………………2分

在RtΔAC₁ D中，同理：AD=2C₁D，又∠B₁AD=∠B₁=30°∴AD=DB₁。

。这两个等式都成立；………………3分

    (2)可以判断结论仍然成立，………………………………4分

证明如下： 如右图所示ΔABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交 AD的延长线于E点。

∵∠E=∠CAD=∠BAD

∴BE=AB

又∵ΔEBD∽ΔACD  ……………………………5分

∴

又∵BE=AB

∴即对任意三角形结论仍然成立.  …………………………6分                                           

﹙3﹚如图所示，连结ED

∵AD为ΔABC的内角角平分线

∴，，即，

又BE=AB-AE=，得……………………7分

∴，又∠B公共，

∴ΔBDE∽ΔBCA……………………8分

∴

∴∠DEB=∠CAB，

 ∴ DE∥AC

∴ΔDEF∽ΔACF      ……………………………9分

∴