Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△AEC=S△ABC，其中正确结论有（　　）个．

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

Answer 1

【答案】C

【解析】

试题∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵△AEF是等边三角形，

∴AE=AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF，

∴①说法正确；

∵BC=DC，

∴BC-BE=CD-DF，

∴CE=CF，

∴△ECF是等腰直角三角形，

∴∠CFE=45°

∴∠AFD=75°

∴∠DAF=15°

∴②正确；

∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BCA=45°

∴AC⊥EF

又CE=CF

∴AC垂直平分EF，

∴③正确；

在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF，

则∠DAF=∠GFA=15°，

∴∠DGF=2∠DAF=30°，

设DF=1，则AG=GF=2，DG=，

∴AD=CD=2+，CF=CE=CD-DF=1+，

∴EF=CF=+，而BE+DF=2，

∴④说法错误；

∵S△ABE+S△ADF=2S△ABE=2×AD×DF=2+，

S△CEF=CE×CF=，

∴⑤正确

故选B.

考点: 1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等边三角形的性质．