Question

【题目】如图1，已知抛物线()与轴交于、两点(在的右侧)，与轴的正半轴交于点，对称轴与轴交于点，作直线．

(1)求点、、的坐标：

(2)当以为圆心的圆与轴和直线都相切时，求抛物线的解析式：

(3)在(2)的条件下，如图2．是轴负半轴上的一点，过点作轴的平行线，与直线交于点，与抛物线交于点，连接，将沿翻折，的对应点为．在图2中探究：是否存在点，使得恰好落在轴上?若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），， ；（2）；（3）存在，点坐标为或

【解析】

（1）根据对称轴x＝可求得抛物线对称轴，得点E的坐标，令y＝0即可求出点A、B的坐标；

（2）由圆的切线性质得DE⊥BC，运用勾股定理可求BD＝2，再根据解三角形知识即可建立关于a的方程，求出a的值；

（3）由翻折得∠MCN＝∠M′CN证得，作MF⊥y轴于F，根据，转化得到关于t的方程，即可求得点P的坐标．

（1）∵对称轴为，

∴点的坐标为．

令，得，

∴，，

∴，；

(2)如图1中，设与直线相切于点，连接，则，

∵，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为；

(3)如图2中，由折叠可得， ．

∵轴，

∴，

∴，

∴，

由抛物线解析式为，令x=0，得y=3

∴C（0，3）

设直线BC解析式为y＝kx＋b，

由题意得，解得，

∴直线解析式为，

设，，

作于，，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得：（舍），，．

∴满足条件的点坐标为或．