Question

16．小东从甲地出发匀速前往相距20km的乙地，一段时间后，小明从乙地出发沿同一条路匀速前往甲地．小东出发2.5h后，在距乙地7.5km处与小明相遇，之后两人同时到达终点．图中线段AB、CD分别表示小东、小明与乙地的距离y（km）与小东所用时间x（h）的关系．
（1）求线段AB、CD所表示的y与x之间的函数表达式；
（2）小东出发多长时间后，两人相距16km？

Answer 1

分析 （1）分别利用A，B和（2.5，7.5），D点坐标求出函数解析式得出答案；
（2）利用①当0≤x＜1.6时，②当1.6≤x＜2.5时，y₁-y₂=16，③当2.5≤x≤4时，分别得出x的值进而得出答案．

解答 解：（1）设线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y₁=kx+b，
由图象可知，函数图象经过点（0，20）、（2.5，7.5）．
得$\left\{\begin{array}{l}{b=20}\\{2.5k+b=7.5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-5}\\{b=20}\end{array}\right.$，
所以线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y₁=-5x+20．
令y₁=0，得x=4．
所以B点的坐标为（4，0）．所以D点的坐标为（4，20）．
设线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为y₂=mx+n，
因为函数图象经过点（4，20）、（2.5，7.5）．
得$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=20}\\{2.5m+n=7.5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{25}{3}}\\{n=-\frac{40}{3}}\end{array}\right.$，
所以线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为：y₂=$\frac{25}{3}$x-$\frac{40}{3}$；

（2）线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为y₂=$\frac{25}{3}$x-$\frac{40}{3}$，
令y₂=0，得x=1.6．即小东出发1.6 h后，小明开始出发．
①当0≤x＜1.6时，y₁=16，即-5x+20=16，
解得：x=0.8，
②当1.6≤x＜2.5时，y₁-y₂=16，即-5x+20-（$\frac{25}{3}$x-$\frac{40}{3}$）=16，
解得：x=1.3（舍去）
③当2.5≤x≤4时，y₂-y₁=16，即$\frac{25}{3}$x-$\frac{40}{3}$-（-5x+20）=16，
解得：x=3.7．
答：小东出发0.8h或3.7h后，两人相距16km．

点评 本题考查了一次函数的应用以及待定系数求一次函数解析式，解决本题的关键是利用分类讨论法得出x的值．