Question

8．已知点P（x₀，y₀）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$计算．
例如：求点P（-1，2）到直线y=3x+7的距离．
解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．
所以点P（-1，2）到直线y=3x+7的距离为：d=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|3×（-1）-2+7|}{\sqrt{1+{3}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点P（1，-1）到直线y=x-1的距离；
（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y=$\sqrt{3}$x+9的位置关系并说明理由；
（3）已知直线y=-2x+4与y=-2x-6平行，求这两条直线之间的距离．

Answer 1

分析 （1）根据点P到直线y=kx+b的距离公式直接计算即可；
（2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q到直线y=$\sqrt{3}$x+9，然后根据切线的判定方法可判断⊙Q与直线y=$\sqrt{3}$x+9相切；
（3）利用两平行线间的距离定义，在直线y=-2x+4上任意取一点，然后计算这个点到直线y=-2x-6的距离即可．

解答 解：（1）因为直线y=x-1，其中k=1，b=-1，
所以点P（1，-1）到直线y=x-1的距离为：d=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|1×1-（-1）+（-1）|}{\sqrt{1+{1}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）⊙Q与直线y=$\sqrt{3}$x+9的位置关系为相切．
理由如下：
圆心Q（0，5）到直线y=$\sqrt{3}$x+9的距离为：d=$\frac{|\sqrt{3}×0-5+9|}{\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{4}{2}$=2，
而⊙O的半径r为2，即d=r，
所以⊙Q与直线y=$\sqrt{3}$x+9相切；
（3）当x=0时，y=-2x+4=4，即点（0，4）在直线y=-2x+4，
因为点（0，4）到直线y=-2x-6的距离为：d=$\frac{|0×（-2）-4-6|}{\sqrt{1+（-2）^{2}}}$=$\frac{10}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
因为直线y=-2x+4与y=-2x-6平行，
所以这两条直线之间的距离为2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、切线的判定方法和两平行线间的距离的定义；提高阅读理解能力．