Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的角平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若∠CAB=60°，DE=3，求AC的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)6.

【解析】

（1）连接OD，由已知得∠ODA=∠OAD=∠DAC，从而OD∥AE，由此能证明DE是圆O的切线．

（2）连接BD，则∠ADB=90°，由角平分线的定义可求∠CAD=∠DAB=30°，尽而可求DE、AD、AB的长，连接OC，可证AC=OA=OC=6．

证明：（1）连接OD，如图，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

（2）连接BD，则∠ADB=90°，

∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAB=30°，

∵DE=3，

∴AD=6，

∴AB=12，

连接OC，则OC=OA=6，

∵∠CAB=60°，

∴AC=OA=OC=6．