Question

9．已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则OP长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{58}$．

Answer 1

分析 首先根据题意画出图形，然后作OM⊥AB与M．根据垂径定理和勾股定理求解．

解答 解：如图，作OM⊥AB与M，
∵AB=8，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵PB=3，
∴PM=1，P′M=7，
在直角△OBM中，OM=$\sqrt{O{B}^{2}-B{M}^{2}}$=3；
在Rt△OPM中，OP=$\sqrt{O{M}^{2}+P{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
在Rt△OMP′中，OP′=$\sqrt{O{M}^{2}+MP{′}^{2}}$=$\sqrt{58}$．
∴OP=$\sqrt{10}$或OP=$\sqrt{58}$．
故答案是：$\sqrt{10}$或$\sqrt{58}$．

点评 此题考查了垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．