Question

7．关于x的方程kx²+（k+3）x+$\frac{k}{4}$=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于$\frac{28}{5}$？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到k≠0且（k+3）²-4k•$\frac{k}{4}$＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）假设存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于$\frac{28}{5}$，利用根与系数的关系得出x₁+x₂=-$\frac{k+3}{k}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，利用两个实数根的倒数和等于$\frac{28}{5}$，得出方程的解，结合k的取值范围判定即可．

解答 解：（1）∵关于x的方程kx²+（k+3）x+$\frac{k}{4}$=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（k+3）²-4k•$\frac{k}{4}$＞0，
∴k＞-1.5且k≠0．

（2）假设存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于$\frac{28}{5}$，
∵x₁+x₂=-$\frac{k+3}{k}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=-$\frac{4（k+3）}{k}$=$\frac{28}{5}$，
解得：k=-$\frac{5}{4}$，
∴存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于$\frac{28}{5}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．