Question

13．如图，∠EAF=90°，B、D分别在射线AE和AF上，且AB=AD，过B和D分别作AE和AF的垂线交于点C，BM平分∠EBC，DN平分∠FDC，∠MAN=45°，连结MN．
（1）尺规作图：作△AMN关于直线AM的轴对称图形△AMT；
（2）探究线段BM、MN、ND之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）作点N关于AM的对称点T，再依次连接A、T、M可得；
（2）将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，连接MP，证明△ABP≌△ADN．利用边角的关系得出△BMP是直角三角形，由勾股定理就可以得出结论．

解答 解：（1）如图1所示，
；

（2）BM²+DN²=MN²，

如图2，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，连接MP．
则△ABP≌△ADN． 
∴∠1=∠3，AP=AN，BP=DN，∠APB=∠AND．
∴∠MAP=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠MAN=45°．
∴∠MAP=∠MAN．
在△AMP和△AMN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AP=AN}\\{∠PAM=∠NAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△AMN（SAS）．
∴MP=MN．
可得∠MBP=（∠APB+∠1）+45°=（∠AND+∠3）+45°=90°．
∴在Rt△BMP中，BM²+BP²=PM²．
∴BM²+DN²=MN²．

点评 本题主要考查轴对称变换和旋转变换及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．