Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连结DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）连结OC交DE于点F，若OF=CF，证明四边形OECD是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）要证明直线DE是⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．
（2）作OH⊥AC于点H，首先证明△DCF≌△EOF（AAS），进而得出DC=OE=AD，即可得出四边形OECD是平行四边形．

解答 （1）证明：连接OD、OE、BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∵E点是BC的中点，
∴DE=CE=BE．
在△ODE和△OBE中，$\left\{\begin{array}{l}{DO=BO}\\{EO=EO}\\{EO=EO}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△OBE（SSS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵OD是圆的半径，
∴直线DE是⊙O的切线．

（2）证明：作OH⊥AC于点H，
∵OA=OB，
∴OE∥AC，且OE=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF；
在△DCF和△EOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠OEF}\\{∠DCF=∠EOF}\\{CF=FO}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△EOF（AAS），
∴DC=OE=AD，
∴四边形CEOD为平行四边形．

点评 此题考查了全等三角形的判定方法及切线的判定和平行四边形的判定与性质等知识，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．