Question

15．如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，点E，F是线段BD上的点，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB=4，当AD的长为何值时，?AECF为菱形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AC，交BD于点O，由矩形的性质得出AO=CO，BO=DO，证出EO=FO即可；
（2）根据菱形的性质和等腰直角三角形的性质即可求得AD．．

解答 （1）证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，BO=DO．
又∵BE=DF，
∴EO=FO．
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵?AECF为菱形，
∴AC⊥EF，
∵AO=BO，AB=4，
∴BO=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴BD=4$\sqrt{2}$，
∴AD=4．

点评 本题考查了平行四边形的判定方法、矩形的性质、菱形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定方法、菱形的判定和性质是解决问题的关键．