Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=2

3

，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求经过点O、C、A三点的抛物线的解析式，并求抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标；
（3）在线段OD上有一点P，过P作直线PM∥CD，交抛物线于点M，若四边形PDCM是平行四边形，求P点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）通过解直角三角形求得AO、AB的值，从而得出A、B的坐标，然后根据折叠的性质可知：∠COB=30°，OC=OA=2

3

，进而得出∠COH=60°，OH=

3

，CH=3，所以C点的坐标为（

3

，3）；
（2）根据待定系数法求得抛物线的解析式和直线OB的解析式，由两个解析式构成方程组，解这个方程组即可求得交点D的坐标．
（3）根据抛物线的解析式和直线BO的解析式设出P、M的坐标，根据平行四边形的性质：对应边相等列出方程，解方程即可．

解答：解：（1）∵在RT△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=2

3

，
∴OB=

cos30°

AO

=4，AB=2，
∵AO=2

3

，AB=2，
∴A（2

3

，0），B（2

3

，2），
过点C作CH⊥x轴于H，
有折叠的性质可知：∠COB=30°，OC=OA=2

3

，
∴∠COH=60°，OH=

3

，CH=3，
∴C点的坐标为（

3

，3）；

（2）∵O点的坐标为（0，0），
∴抛物线的解析式为y=ax²+bx，（a≠0），
∵经过点C（

3

，3）、A（2

3

，0），
∴

3=3a+ 3 b 0=12a+2 3 b

 解得：

a=-1 b=2 3

，
∴此抛物线的函数关系式为：y=-x²+2

3

x，
∵AO=2

3

，AB=2，
∴B（2

3

，2），
∴设直线BO的解析式为：y=kx，
则2=2

3

k，
解得：k=

3

3

∴直线BO为：y=

3

3

x，
∵抛物线y=-x²+2

3

x的对称轴为x=-

2 3

-2

=

3

，
∴代入y=

3

3

x得：y=1，
∴抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标（

3

，1）．

（3）如图，由（2）可知：抛物线的对称轴为x=

3

，C（

3

，3）
∴C点就是抛物线的顶点，
∵四边形PDCM是平行四边形，
∴PM∥CD∥y轴，PM=CD，
∵C（

3

，3），D（

3

，1）．
∴CD=2，
设P（m，

3

3

m），则M（m，-m²+2

3

m），
∴PM=-m²+2

3

m-

3

3

m，
∴-m²+2

3

m-

3

3

m=2，
解得：m=

3

（舍去），m=

2 3

3

，
∴P（

2 3

3

，

2

3

）．

点评：本题考查了直角三角形的三角函数的求值，待定系数法求解析式，函数图象的交点坐标，抛物线的对称轴和顶点坐标，平行四边形的性质等；