Question

观察下列各式及其验证过程：

2+ 2 3

=2

2

3

，验证：

2+ 2 3

=

8 3

=

22×2 3

=2

2 3

．

3+ 3 8

=3

3 8

，验证：

3+ 3 8

=

27 8

=

32×3 8

=3

3 8

．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想

4+ 4 15

的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证；
（3）用a（a为任意自然数，且a≥2）写出三次根式的类似规律，并给出验证说理过程．

Answer 1

考点：二次根式的性质与化简

专题：规律型

分析：（1）利用已知，观察

2+ 2 3

=2

2 3

，

3+ 3 8

=3

3 8

，可得

4+ 4 15

的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
（3）利用已知可得出三次根式的类似规律，进而验证即可．

解答：解：（1）∵

2+ 2 3

=2

2 3

，

3+ 3 8

=3

3 8

，
∴

4+ 4 15

=4

4 15

=4

2

15

=

8 15

15

，
验证：

4+ 4 15

=

64 15

=

8 15

15

，正确；

（2）由（1）中的规律可知3=2²-1，8=3²-1，15=4²-1，
∴

a+ a a2-1

=a

a a2-1

，
验证：

a+ a a2-1

=

a3 a2-1

=a

a a2-1

；正确；

（3）

3	a+ a a3-1

=a

3	a a3-1

（a为任意自然数，且a≥2），
验证：

3	a+ a a3-1

=

3	a4-a+a a3-1

=

3	a4 a3-1

=a

3	a a3-1

．

点评：此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．