Question

12．某校数学兴趣小组在探究如何求tan 15°，cos15°的值，经过自主思考、合作交流讨论，得到以下思路：
思路一　 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=$\sqrt{3}$．
tanD=tan15°=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$．
思路二　 利用科普书上的有关公式：
tan（α±β）=$\frac{tanα+tanβ}{1±tanα•tanβ}$；
cos（α±β）=cosαcosβ±sinαsinβ．
例如α=60°，β=45°代入差角正切公式：
tan15°=tan（60°-45°）=$\frac{tan60°-tan45°}{1+tan60°•tan45°}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．
思路三　 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…
思路四　 …
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．
（1）类比：求出tan75°的值和cos15°的值；
（2）应用：如图2，某县要在宽为10米的幸福大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成105°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱BC高度．
（精确到0.1米，参考数据$\sqrt{6}$≈2.449，$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{2}$≈1.414）

Answer 1

分析 （1）根据思路二直接套用公式计算即可；
（2）作DE⊥AB于点E，CF⊥DE于点F，可得矩形BCFE，进而可得∠ODE=15°、∠DOE=75°，在RT△CDF中根据三角函数分别求出DF、CF=BE的长，在RT△ODE中求出DE的长，由BC=EF=DE-DF可得答案．

解答 解：（1）tan75°=tan（45°+30°）=$\frac{tan45°+tan30°}{1-tan45°•tan30°}$=$\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2+$\sqrt{3}$；
cos15°=cos（60°-45°）=cos60°cos45°+sin60°sin45°=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$；
（2）如图2，作DE⊥AB于点E，CF⊥DE于点F，

∵BC⊥AB，
∴∠ABC=∠BEF=∠FEC=90°，
∴四边形BEFC是矩形，
∴∠FCB=90°，BC=EF，BE=CF，
∵DO⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOE+∠DOE=∠ODE+∠CDF=∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠ODE=∠DCF=∠DCB-∠FCB=105°-90°=15°，
∠DOE=∠CDF=90°-15°=75°，
∵cos15°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$≈0.966，tan75°=2+$\sqrt{3}$≈3.732，
在RT△CDF中，CD=2米，
∴CF=DC•cos15°≈2×0.966=1.932米，
∵OE=OB-BE=0B-CF=5-1.932=3.068米，
∴DE=OE•tan75°=3.068×3.732=11.450米，
DF=CFtan75°=0.573，
∴BC=EF=DE-DF=11.450-0.573≈11（米），
答：此时路灯的灯柱BC的高度大约11米．

点评 本题考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．