Question

20．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．
（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP=BP；
（2）若AB=2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；
（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB=8，CD=6，则圆环的面积为7π．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质以及垂径定理即可证明．
（2）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据切线的性质定理、勾股定理、垂径定理求解．
（3）首先连接OA，OC，由勾股定理可得：OE²=OA²-AE²，OE²=OC²-CE²，继而可得OA²-OC²=7，则可求得圆环的面积

解答 （1）证明：如图1中，连接OP．

∵AB是小圆的切线，P是切点，
∴OP⊥AB，
∴PA=PB．

（2）解：如图1中，连接OB．
∵大圆的弦AB是小圆的切线，
∴OP⊥AB，AP=PB，
∴OB²-OP²=（2a÷2）²=a²，
∵S_圆环=S大-S小=π•OB²-π•OP²=π•（OB²-OP²），
∴S_圆环=πa²．

（3）解：如图2中，连接OA，OC，作OE⊥AB于点E．

在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE²=OA²-AE²，OE²=OC²-CE²，
∴OA²-AE²=OC²-CE²，
∴OA²-OC²=AE²-CE²，
∵AB=8，CD=6，
∴AE=EB=4，CE=DE=3，
∴OA²-OC²=7，
∴圆环的面积为：πOA²-πOC²=π（OA²-OC²）=7π．
故答案为7π．

点评 此题考查了垂径定理、勾股定理、圆的面积的等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，注意数形结合思想的应用，属于中考常考题型．