Question

如图，O是坐标原点，直线OA与双曲线y=

m

x

在第一象限内交于点A，过点A的直线y=kx+b与x轴正半轴交于点B，与双曲线的另一交点为C，连结OC．若OA=OB=5，tan∠AOB=

3

4

．
（1）求双曲线和直线AB的解析式；
（2）求△AOC的面积．
（3）在第一象限内，根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）根据三角函数的定义求得A的坐标，然后利用待定系数法求得直线AB的解析式，把A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值；
（2）求得直线与y轴的交点E，根据S_△AOC=S_△AOE+S_△OEC即可求解；
（3）一次函数的值大于反比例函数的值即一次函数的图象在反比例函数的图象的上边，写出自变量x的取值范围即可．

解答：解：（1）作AD⊥x轴于点D．
∵在直角△AOD中，tanB=

AD

OD

=

3

4

，
设AD=3a，则OD=4a，
∴OA=5a=5，
解得：a=5，
则AD=3a=3，OD=4a=4，即A的坐标是（4，3）．
把（4，3）代入y=

m

x

，解得：m=12，
则反比例函数的解析式是：y=

12

x

；
∵OB=5，
∴B的坐标是（5，0）．
根据题意得：

4k+b=3 5k+b=0

，
解得：

k=-3 b=15

，
则直线的解析式是：y=-3x+15；
（2）在y=-3x+15中，令x=0，解得y=15，
则直线与y轴的交点E坐标是（0，15）．
解方程组

y=-3x+15 y= 12 x

，
解得：

x=4 y=3

或

x=1 y=12

，
则C的坐标是（1，12）．
则S_△AOE=

1

2

×15×4=30，S_△OEC=

1

2

×15×1=

15

2

．
则S_△AOC=S_△AOE+S_△OEC=30+

15

2

=

45

2

；
（3）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：1＜x＜4．

点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．这里体现了数形结合的思想．