Question

圣诞节来临，利华精品玩具店以每个60元的价格购进某种玩具，决定每个玩具不得低于80元出售．玩具的销售单价m（元/个）与每天的销售数量n（个）之间的函数关系如图所示．
（1）试求表示线段AB的函数的解析式，并求出当销售数量n=20时单价m的值；
（2）写出该店当每天销售n（30≥n≥10）个时，所获得利润w（元）与n（个）之间的函数关系式；
（3）店长李明经过一段时间的销售发现，每天卖27个赚的钱反而比每天卖30个赚的钱多，如果不采用直接求值的方式，你能用所学的数学知识解释这一现象吗？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）利用待定系数法求线段AB的函数的解析式，设m=kx+b，把A（10，100）和B（30，80）代入上式得到关于k、b的方程组，解方程组即可；然后把n=20代入解析式得到对应的m的值；
（2）分类讨论：当10≤n≤30时，W=（m-60）n；
（3）配方W=-n²+50n得到W=-（n-25）²+625，根据二次函数的性质讨论增减性，可得卖27个赚的钱反而比卖30个赚的钱多．

解答：解：（1）设线段AB的函数解析式为m=kx+b（k≠0），
∵把A（10，100）和B（30，80）代入上式，得10k+b=100，30k+b=80，
解得k=-1，b=110，
∴线段AB的函数的解析式为m=-n+110（10≤n≤30）；
∴当n=20时，m=-20+110=90；

（2）当10≤n≤30时，W=（m-60）n=（-n+110-60）n=-n²+50n；

（3）∵由（2）知，W=-n²+50n=-（n-25）²+625，
∴当10≤n≤25时，W随n的增大而增大，即卖的越多，利润越大；
当25＜n≤30时，W随n的增大而减小，即卖的越多，利润越小；
∴卖27个赚的钱反而比卖30个赚的钱多．

点评：本题考查了二次函数的应用，先得到二次函数的顶点式y=a（x-h）²+k，当a＜0，x=h时，y有最大值k；当a＜0，x=h时，y有最小值k；也考查了二次函数的增减性以及利用待定系数法求函数的解析式．