Question

如图，在直角坐标系中直线分别交x轴、y轴于A（4，0）、B（0，-3）两点，现有一半径为1的动圆，圆心位于B点处，沿着BA方向以每秒1个单位的速率做平移运动，则经过

 

秒后动圆与坐标轴相切．

Answer 1

考点：切线的判定,坐标与图形性质

专题：

分析：在直角三角形OAB中，OA=4，OB=3，由勾股定理得AB=5，设⊙经过x秒后与坐标轴相切；
（1）当⊙经过x秒后到达P点与y轴相切，过P点作y轴的垂线，垂足为C，则PC=1；根据△PBC∽△ABO中的成比例线段求解；
（2）当⊙经过x秒后到达Q点与x轴相切，过Q点作x轴的垂线，垂足为d，则QD=1AQ=5-x；根据△AQD∽△ABO中的成比例线段求解．
（3）当⊙经过x秒后到达K点与x轴相切，过K点作x轴的垂线，垂足为E，则KE=1；AK=x-5，根据△AKE∽△ABO中的成比例线段求解

解答：解：∵A（4，0）、B（0，-3）
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
（1）当⊙经过x秒后到达P点与y轴相切，过P点作y轴的垂线，垂足为C，则PC=1；
由△PBC∽△ABO得，

PB

AB

=

PC

OA

，即

x

5

=

1

4

，
解得x=

5

4

；
（2）当⊙经过x秒后到达Q点与x轴相切，过Q点作x轴的垂线，垂足为d，则QD=1；
AQ=5-x；
由△AQD∽△ABO得，

QA

AB

=

QD

OB

，即

5-x

5

=

1

3

，
解得x=

10

3

．
（3）当⊙经过x秒后到达K点与x轴相切，过K点作x轴的垂线，垂足为E，则KE=1；
AK=x-5，
由△AKE∽△ABO得，

AK

AB

=

KE

OB

，即

x-5

5

=

1

3

解得x=

20

3

，
故答案为

5

4

或

10

3

或

20

3

．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．