Question

1．在平面直角坐标系中，A（4，0），直线l：y=6与y轴交于点B，点P是直线l上点B右侧的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ=90°，当点P的横坐标满足0≤x≤8，则点Q的运动路径长为8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图，作PE⊥OA、作QF⊥BP，证△PEA≌△PFQ，设P（a，6），则PF=PE=6、QF=AE=|4-a|，可得Q（a+6，10-a），即可知点Q始终在直线y=-x+16上运动，由当点P的横坐标满足0≤x≤8时，点Q的横坐标满足6≤x≤14，纵坐标满足2≤y≤10，根据两点间的距离公式求解可得．

解答 解：如图，过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点Q作QF⊥BP，垂足为F，

∵BP∥OA，PE⊥OA，
∴∠EPF=∠PEO=90°．
∵∠APQ=90°，
∴∠EPA=∠FPQ=90°-∠APF．
在△PEA和△PFQ中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EPA=∠FPQ}\\{∠PEA=∠PFQ=90°}\\{PA=PQ}\end{array}\right.$，
∴△PEA≌△PFQ（AAS），
∴PE=PF，EA=QF，
若点P的坐标为（a，6），则PF=PE=6，QF=AE=|4-a|．
∴点Q的坐标为（a+6，10-a）．
∵无论a为何值，点Q的坐标（a+6，10-a）都满足一次函数解析式y=-x+16，
∴点Q始终在直线y=-x+16上运动．
当点P的横坐标满足0≤x≤8时，点Q的横坐标满足6≤x≤14，纵坐标满足2≤y≤10，
则Q的运动路径长为$\sqrt{（6-14）^{2}+（10-2）^{2}}$=8$\sqrt{2}$，
故答案为：8$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查动点的轨迹问题，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及一次函数的性质、两点间的距离公式是解题的关键．