Question

9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，向⊙O内任意投点，则所投的点落在正六边形ABCDEF内的概率是$\frac{3\sqrt{3}}{2π}$．

Answer 1

分析 连接OE、OD，由正六边形的特点求出判断出△ODE的形状，作OH⊥ED于H，由特殊角的三角函数值求出OH的长，利用三角形的面积公式即可求出△ODE的面积，进而可得出正六边形ABCDEF的面积，即可得出结果．

解答 解：设⊙O的半径为R，连接OE、OD，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠DEF=120°，
∴∠OED=60°，
∵OE=OD=R，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE=OD=R，
作OH⊥ED于H，则OH=OE•sin∠OED=R×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴S_△ODE=$\frac{1}{2}$DE•OH=$\frac{1}{2}$×R×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R²，
∴正六边形的面积=6×$\frac{\sqrt{3}}{4}$R²=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$R²，
∵⊙O的面积=πR²，
∴所投的点落在正六边形ABCDEF内的概率=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}{R}^{2}}{π{R}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2π}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{2π}$．

点评 本题考查的是正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，通过作辅助线求出△ODE的面积是解决问题的关键．