Question

15．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC，BC为边作等边三角形，面积分别记为S₁，S₂，则S₁+S₂的值等于4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理有AC²+BC²=AB²=16，再根据等式性质可得$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²=4$\sqrt{3}$，再根据等边三角形的性质以及特殊三角函数值，易求而S₁=$\frac{1}{2}$×sin60°AC•AC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC²，同理可求S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²，从而可得S₁+S₂=S₃=4$\sqrt{3}$．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，
∴AC²+BC²=AB²=16，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²=4$\sqrt{3}$，
又∵S₁=$\frac{1}{2}$×sin60°AC•AC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC²，S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²，
∴S₁+S₂=S₃=4$\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理、等边三角形的性质、特殊三角函数值．解题关键是根据等边三角形的性质求出每一个三角形的面积．