Question

11．如图，在△ABC，AC的长为8cm，AC边上的高为BD，当B点在线段BD上向D点运动时，△ABC的面积发生了变化．
（1）指出在此变化过程中的变量；
（2）当高BD从6cm变化到2cm时，△ABC的面积S的变化范围；
（3）若BD=6cm，BD上有一动点P沿射线BD匀速运动，速度为1cm/s，指出△PAC的面积y（cm²）与P点运动时间t之间的关系，并求出当S_△PAC=$\frac{1}{3}$S_△ABC时的t值．

Answer 1

分析 （1）由题意根据常量和变量的定义，可得到再点B沿BD所在直线向点D运动时，三角形的面积和高BD发生了变化，即可得到变量；
（2）由题意可知，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC×BD，把BD=6cm和BD=2cm分别代入面积公式，即可得到三角形的面积的变化范围；
（3）利用三角形的面积公式即可得到关系式．

解答 解：（1）由题意和图形知，
∵点B沿BD所在直线向点D运动，
∴BD的长度在逐渐变短，
∴线段BD是变化的量，
∵高BD变化，所以面积也在变化，
故变量为线段BD，因变量是△ABC的面积；

（2）由题意可知，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC×BD，
把BD=6cm代入，得△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×8×6=24cm²，
把BD=2cm代入，得△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×8×2=8cm²，
∴三角形的面积S的变化范围为：8cm²≤S≤24cm²；

（3）∵BD上有一动点P沿射线BD匀速运动，速度为1cm/s，
∴PD=t，
∴△PAC的面积y=$\frac{1}{2}$×8t=4t，
∴y与x的关系式为：y=4x、t，
当S_△PAC=$\frac{1}{3}$S_△ABC时，4t=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×8，
解得t=2．

点评 本题主要考查了函数关系式，常量与变量，函数值及三角形的面积，解题的关键是能求出y与x的关系式．