Question

8．如图，AB为⊙O的直径，点C、F在⊙O上，ED⊥AF于D，AF、BC交于M，∠E=2∠ABC，
（1）求证：AC=CF；
（2）若DE=1，AE=$\sqrt{10}$，求$\frac{AC}{BM}$的值．

Answer 1

分析 （1）要证明AC=CF，只要证明∠ABC=∠CBF即可，根据题目中的条件，利用平行线的性质和圆周角定理可以证明∠ABC=∠CBF，本题得以解决；
（2）要求$\frac{AC}{BM}$的值，只需要证明△ACN∽△BFM即可，根据题意目中的条件可以找出这两个三角形相似，从而可以解答本题．

解答 （1）证明：连接BF，CF，如右图所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵ED⊥AF，
∴∠ADE=90°，
∴∠AFB=∠ADE，
∴BF∥ED，
∴∠AED=∠ABF，
∵∠E=2∠ABC，
∴∠ABF=2∠ABC，
∵∠ABC=∠CBF，
∴AC=CF；
（2）由（1）知AC=CF，
连接OC交AF于点N，则OC⊥AF，
∴∠ANC=90°，
∵∠CAN=∠FBM，∠ANC=∠BFM=90°，
∴△ACN∽△BFM，
∴$\frac{AC}{BM}=\frac{AN}{BF}$，
∵DE=1，AE=$\sqrt{10}$，BF∥ED，
∴△ABF∽△AED，
∴$\frac{AB}{BF}=\frac{AE}{ED}$=$\frac{\sqrt{10}}{1}$，
设BF=a，则AB=$\sqrt{10}$a，AF=3a，
∴$\frac{AC}{BM}=\frac{AN}{BF}$=$\frac{\frac{3a}{2}}{a}=\frac{3}{2}$，

点评 本题考查相似三角形的判定与性质、圆周角定理，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和圆周角定理解答．