Question

9．在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，D、E分别为AB、AC上一点，AD=CD，∠ABE=30°．将CE绕点C逆时针旋转一定角度到F点，使得∠BED=2∠BCF，链接EF和DF，求DE、DF、CD三者的数量关系．

Answer 1

分析 如图，作∠BCG=20°，连结GE，把△DEC绕点C逆时针旋转至△MFC处．根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=80°，推出△CGE是等边三角形，根据等边三角形的性质得到GC=GE，∠EGC=60°，求出∠DGE=40°根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠A=20°，得到∠BCD=60°，求得∠CDE=30°，推出∠ECF=120°，根据等腰三角形的性质得到∠FEC=∠CFE=30°，得到∠EDC=∠EFC，推出点C，E，D，F四点共圆．根据圆周角定理得到∠FDC=∠FEC=30°，∠DEC+∠DFC=180°，根据全等三角形的性质得到DE=MF，∠DEC=∠MFC，∠M=∠CDE=30°，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：如图，作∠BCG=20°，连结GE，把△DEC绕点C逆时针旋转至△MFC处．
∵AB=AC，∠A=20°，
∴∠ABC=∠ACB=80°，
∴∠BGC=80°，
∴CB=CG，∠GCE=60°，
∵∠ABE=30°，
∴∠CBE=50°，
∴∠BEC=50°，
∴CB=CE∴CG=CE，
∴△CGE是等边三角形，
∴GC=GE，∠EGC=60°，
∴∠DGE=40°
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A=20°，
∴∠BCD=60°，
∴∠GCD=40°=∠CDG，
∴GC=GD=GE，
∴∠GED=∠GDE=70°，∠GCD=∠GDC=40°，
∴∠CDE=30°，
∴∠DEA=50°，
∴∠DEB=80°，
∵∠BED=2∠BCF，
∴∠BCF=40°，
∴∠ECF=120°，
∵CE=CF，
∴∠FEC=∠CFE=30°，
∴∠EDC=∠EFC，
∴点C，E，D，F四点共圆．
∴∠FDC=∠FEC=30°，∠DEC+∠DFC=180°，
∵△DEC≌△MFC，
∴DE=MF，∠DEC=∠MFC，∠M=∠CDE=30°，
∴∠DFC+∠MFC=180°，
∴D，F，M共线．
在△DMC中，∠M=∠MDC=30°，
∴DM=$\sqrt{3}$DC，
∴DE+DF=$\sqrt{3}$DC．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．