Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（2，0）、（3，-1），二次函数y=-x²的图象为C₁．
（1）向上平移抛物线C₁，使平移后的抛物线C₂经过点A，求抛物线C₂的表达式；
（2）平移抛物线C₁，使平移后的抛物线C₃经过点A、B两点，抛物线C₃与y轴交于点D，求抛物线C₃的表达式以及点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，记OD中点为E，点P为抛物线C₃对称轴上一点，当△ABP与△ADE相似时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题,相似三角形的判定与性质

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）根据条件可设抛物线C₂的解析式为y=-x²+c，然后把点A的坐标代入y=-x²+c，就可解决问题；
（2）根据条件可设抛物线C₃的解析式为y=-x²+mx+n，然后把点A、B的坐标代入y=-x²+mx+n，就可求出抛物线C₃的解析式，然后令x=0就可求出点D的坐标；
（3）过点B作BH⊥x轴于点H，可求得∠HAB=45°，AB=

2

．结合条件易求得∠DEA=135°，

DE

AE

=

1

2

．若点P在点A的下方，则∠BAP=45°，由△ABP与△ADE相似可得∠ABP或∠APB为135°，与三角形内角和矛盾，该情况不存在，因而点P必在点A的上方．然后只需分两种情况讨论，运用相似三角形的性质可求出点P的坐标．

解答：解：（1）设抛物线C₂的解析式为y=-x²+c，
∵抛物线C₂经过点A（2，0），
∴-4+c=0，
∴c=4，
∴抛物线C₂的解析式为y=-x²+4；

（2）设抛物线C₃的解析式为y=-x²+mx+n，
∵抛物线C₃经过点A（2，0）、B（3，-1），
∴

-4+2m+n=0 -9+3m+n=-1

，
解得：

m=4 n=-4

，
∴抛物线C₃的解析式为y=-x²+4x-4．
当x=0时，y=-4，故点D的坐标为（0，-4）；

（3）过点B作BH⊥x轴于点H，则有AH=BH=1，
∴∠HAB=∠HBA=45°，AB=

2

．
∵D的坐标为（0，-4），
∴OD=4．
∵点E为OD中点，
∴OE=DE=2．
在Rt△AOE中，
∵∠AOE=90°，OA=OE=2，
∴AE=2

2

，∠OEA=∠OAE=45°，
∴∠DEA=135°，

DE

AE

=

2

2 2

=

1

2

．
若点P在点A的下方，则∠BAP=45°，
由△ABP与△ADE相似可得∠ABP或∠APB为135°，
与三角形内角和矛盾，该情况不存在．
∴点P必在点A的上方．
①若△ABP∽△EAD，如图1，

则

AP

AB

=

ED

EA

=

1

2

，
∴AP=

1

2

×

2

=1，
∴点P的坐标为（2，1）；
②若△ABP∽△EDA，如图2，

则

AB

AP

=

ED

EA

=

1

2

，
∴AP=

2

AB=

2

×

2

=2，
∴点P的坐标为（2，2）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求抛物线的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，运用反证法及分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．