Question

已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A（，0），B（，0），（＜）两点，顶点M的纵坐标为，若，是方程的两根，且。

（1）、求A、B两点的坐标。

（2）、求抛物线的表达式及点C的坐标。

（3）、抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB面积的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）y=x2﹣2x﹣3；C（0,-3）；（3）存在符合条件的P点，且坐标为（1﹣，9），（1+，9）

【解析】

试题分析：（1）根据韦达定理可得出A、B两点横坐标的和与积，联立x12+x22=10，可求出m的值，进而可求出A、B的坐标．

（2）根据A、B的坐标，可得出抛物线的对称轴的解析式，即可求出其顶点M的坐标，根据得出的A、B、M三点的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式．

（3）可先求出四边形ACMB的面积（由于四边形ACMB不规则，因此其面积可用分割法进行求解）．然后根据ACMB的面求出P点的纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．

试题解析：（1）∵若x1，x2是方程x2﹣2（m﹣1）+m2﹣7=0的两个实数根，

由题意得：x1+x2═﹣=2（m﹣1），x1x2==m2﹣7．

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣1）2﹣2（m2﹣7）=10，

化简，得m2﹣4m+4=0，

解得m=2．

且当m=2时，△=4﹣4×（﹣3）＞0，符合题意．

∴原方程可写成：x2﹣2x﹣3=0，

∵x1＜x2，

∴x1=﹣1，x2=3；

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）已知：A（﹣1，0），B（3，0），

∴抛物线的对称轴为x=1，

因此抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），则有：

﹣4=a（1+1）（1﹣3），a=1；

∴y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3；

当x=0时，y=-3.所以C（0,-3）

（3）S四边形ACMB=S△AOC+S梯形OCMN+S△NBM=OA•OC+（OC+MN）•ON+NB•MN，

=×1×3+×（3+4）×1+×2×4=9．

假设存在P（x0，y0）使得S△PAB=2S四边形ACMB=18，

即：AB|y0|=18，×4×|y0|=18，

∴y0=±9；

当y0=9时，x2﹣2x﹣3=9，解得x=1﹣，x=1+；

当y0=﹣9时，x2﹣2x﹣3=﹣9，此方程无实数根．

∴存在符合条件的P点，且坐标为（1﹣，9），（1+，9）．

考点：二次函数综合题．