Question

3．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$与y=mx交于A、B两点，已知点A的坐标是（4，2），点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在AB的上方．
（1）求k、m的值及B点的坐标；
（2）在x轴的 正半轴上是否存在点Q，使△ABQ为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；
（3）若S_△ABP=12，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法以及A、B关于原点对称即可解决问题．
（2）如图1中，作AE⊥x轴于E，BM⊥y轴于M．分两种情形讨论即可①当AQ′=AB=4$\sqrt{5}$时，△ABQ是等腰三角形，②当BA=BQ时，△ABQ是等腰三角形．
（3）如图2中，过点P作PM⊥x轴，交直线AB于点M．根据S_△ABP=$\frac{1}{2}$|x_A-x_B|•|y_P-y_M|列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）将A（4，2）代入y=$\frac{k}{x}$得，k=8，
将A（4，2）代入y=mx得，m=$\frac{1}{2}$，
∵点A与点B关于原点中心对称，
∴B（-4，-2），
∴k=8，m=$\frac{1}{2}$，B（-4，-2）．

（2）如图1中，作AE⊥x轴于E，BM⊥y轴于M．

∵A（4，2）、B（-4，-2）
∴AB=4$\sqrt{5}$
当AQ′=AB=4$\sqrt{5}$时，△ABQ是等腰三角形，
∴Q′E=$\sqrt{A{Q}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{76}$，
∴Q′（4+$\sqrt{76}$，0），
当BA=BQ时，△ABQ是等腰三角形，QM=$\sqrt{B{Q}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{76}$
Q（$\sqrt{76}$-4，0）．
综上所述，满足条件的点Q坐标为（4+$\sqrt{76}$，0）或（$\sqrt{76}$-4，0）．

（3）如图2中，过点P作PM⊥x轴，交直线AB于点M．

设P（a，$\frac{8}{a}$），则M（a，$\frac{a}{2}$），
S_△ABP=$\frac{1}{2}$|x_A-x_B|•|y_P-y_M|=$\frac{1}{2}$×8×（$\frac{8}{a}$-$\frac{a}{2}$）=12
解得：a=-8（舍去）  a=2，
∴P（2，4）．

点评 本题考查反比例函数的图象与性质、一次函数的应用、等腰三角形的判定、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常压轴题．