Question

7．已知关于x的方程x²-（a+b）x+ab-1=0，x₁、x₂是此方程的两个实数根，现给出四个结论：①x₁≠x₂；②x₁x₂＜ab；③x₁²+x₂²＞a²+b²；④若a＞b，x₁＞x₂，则x₁-x₂=a-b，则正确结论的序号是①②③．（填上你认为正确结论的所有序号）

Answer 1

分析 ①根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=（a-b）²+4＞0，由此即可得出x₁≠x₂，结论①成立；②由根与系数的关系即可得出x₁x₂=ab-1，由此即可得出x₁x₂＜ab，结论②成立；③由根与系数的关系可得出x₁+x₂=a+b、x₁x₂=ab-1，将x₁²+x₂²变形为$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁x₂，代入数据即可得出x₁²+x₂²=a²+b²+2，进而可得出x₁²+x₂²＞a²+b²，结论③成立；④结合③中的x₁²+x₂²=a²+b²+2以及x₁+x₂=a+b、x₁x₂=ab-1即可得出${（x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$=（a-b）²+4，由此即可得出${（x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$＞（a-b）²，再根据a＞b、x₁＞x₂，即可得出x₁-x₂＞a-b，结论④不成立．综上即可得出结论．

解答 解：①∵在方程x²-（a+b）x+ab-1=0中，△=[-（a+b）]²-4（ab-1）=a²+b²+2ab-4ab+4=（a-b）²+4＞0，
∴x₁≠x₂，结论①成立；
②∵x₁、x₂是方程x²-（a+b）x+ab-1=0的两个实数根，
∴x₁x₂=ab-1＜ab，结论②成立；
③∵x₁、x₂是方程x²-（a+b）x+ab-1=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=a+b，x₁x₂=ab-1，
∴x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁x₂=（a+b）²-2（ab-1）=a²+b²+2ab-2ab+2=a²+b²+2＞a²+b²，结论③成立；
④∵x₁+x₂=a+b，x₁x₂=ab-1，
∴${（x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$=x₁²+x₂²-2x₁x₂=a²+b²+2-2（ab-1）=（a-b）²+4，
∴${（x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$＞（a-b）²．
又∵a＞b，x₁＞x₂，
∴x₁-x₂＞a-b，结论④不成立．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及完全平方公式，逐一分析四条结论是否成立是解题的关键．