Question

11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB-BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND-DC-CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 先求出DN，判断点Q到D点时，DP⊥AB，然后分三种情况分别用三角形的面积公式计算即可．

解答 解：∵AD=5，AN=3，
∴DN=2，
如图1，过点D作DF⊥AB，
∴DF=BC=4，
在RT△ADF中，AD=5，DF=4，根据勾股定理得，AF=$\sqrt{A{D}^{2}-D{F}^{2}}$=3，
∴BF=CD=2，当点Q到点D时用了2s，
∴点P也运动2s，
∴AP=3，即QP⊥AB，
∴只分三种情况：
①当0＜t≤2时，如图1，

过Q作QG⊥AB，过点D作DF⊥AB，QG∥DF，
∴$\frac{AQ}{AD}=\frac{QG}{DF}$，
由题意得，NQ=t，MP=t，
∵AM=1，AN=3，
∴AQ=t+3，
∴$\frac{t+3}{5}=\frac{QG}{4}$，
∴QG=$\frac{4}{5}$（t+3），
∵AP=t+1，
∴S=S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP×QG=$\frac{1}{2}$×（t+1）×$\frac{4}{5}$（t+3）=$\frac{2}{5}$（t+2）²-$\frac{2}{5}$，
当t=2时，S=6，
②当2＜t≤4时，如图2，

∵AP=AM+t=1+t，
∴S=S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP×BC=$\frac{1}{2}$（1+t）×4=2（t+1）=2t+2，
当t=4时，S=10，
③当4＜t≤5时，如图3，

由题意得CQ=t-4，PB=t+AM-AB=t+1-5=t-4，
∴PQ=BC-CQ-PB=4-（t-4）-（t-4）=12-2t，
∴S=S_△APQ=$\frac{1}{2}$PQ×AB=$\frac{1}{2}$×（12-2t）×5=-5t+30，
当t=5时，S=5，
∴S与t的函数关系式分别是①S=S_△APQ=$\frac{2}{5}$（t+2）²-$\frac{2}{5}$，当t=2时，S=6，②S=S_△APQ=2t+2，当t=4时，S=10，③∴S=S_△APQ=-5t+30，当t=5时，S=5，
综合以上三种情况，D正确
故选D．

点评 此题是动点问题的函数图象，考查了三角形的面积公式，矩形的性质，解本题的关键是分段画出图象，判断出点Q在线段CD时，PQ⊥AB是易错的地方．