Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，AE∥CD，CE∥AB，BE交CD于O．
（1）判断四边形ADCE的形状，并证明．
（2）若AC=BC=2，求BO的长．

Answer 1

分析 （1）首先证得四边形ADCE是平行四边形，然后证得邻边相等即可得到菱形；
（2）首先根据AC=BC=2得到CD⊥AB，AB=2$\sqrt{2}$，从而得到AE=$\sqrt{2}$，然后利用勾股定理求得BE=$\sqrt{10}$，从而求得BO=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

解答 解：（1）菱形．证明如下：
∵AE∥CD，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD=AD，
∴四边形ADCE是菱形．

（2）∵AC=BC=2，
∴CD⊥AB，AB=2$\sqrt{2}$，
∴EA⊥AB，AD=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}$，
在Rt△BAE中，BE=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵AD=BD，AE∥DO，
∴BO=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了菱形的判定及勾股定理的知识，解题的关键是牢记菱形的判定定理，难度不大．