Question

11．如图，P是△ABC内任一点，
（1）试说明∠BPC＞∠A．
（2）若∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．
（3）若∠BPC=130°，试求∠A的度数．

Answer 1

分析 （1）如图，延长BP交AC于D．根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠PDC；根据△ABD外角的性质知∠PDC＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A；
（2）利用三角形角平分线性质得：∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC=40°，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB=25°；由三角形的内角和定理，求得∠BPC的度数；
（3）先根据三角形内角和定理求出∠PBC+∠PCB的度数，再根据角平分线的性质求出∠ABC+∠ACB的度数，由三角形内角和定理即可求出答案．

解答 （1）证明：如图，

延长BP交AC于D．
∵∠BPC＞∠PDC，∠PDC＞∠A，
∴∠BPC＞∠A．
（2）解：在△ABC中，
∵∠ABC=80°，BP平分∠ABC，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC=40°．
∵∠ACB=50°，CP平分∠ACB，
∴∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB=25°．
在△BCP中∠BPC=180°-（∠CBP+∠BCP）=115．
（3）解：∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∵∠BPC=130°，
∴∠PBC+∠PCB=50°，
∵BP、CP是角平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠A=80°．

点评 本题考查了三角形的外角的性质、三角形角平分线性质及三角形的内角和定理．解题时是结合三角形的内角和与外角的关系、角平分线的性质来证明结论的．