Question

【题目】如图，抛物线与直线分别相交于，两点，且此抛物线与轴的一个交点为，连接，．已知，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，并求出这个最大值；

（3）点为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点M的坐标为（，）时，取最大值为；（3）存在点．

【解析】

（1）根据待定系数法求解即可；

（2）根据三角形的三边关系可知：当点、、三点共线时，可使的值最大，据此求解即可；

（3）先求得，再过点作于点，过点作轴于点，如图，这样就把以，，为顶点的三角形与相似问题转化为以，，为顶点的三角形与相似的问题，再分当时与时两种情况，分别求解即可．

解：（1）将，代入得：

，解得：，

∴抛物线的解析式是；

（2）解方程组：，得，，

∵，∴

当点、、三点不共线时，根据三角形三边关系得，

当点、、三点共线时，，

∴当点、、三点共线时，取最大值，即为的长，

如图，过点作BE⊥x轴于点，则在中，由勾股定理得：，∴取最大值为；

易求得直线BC的解析式为：y=－x－3，抛物线的对称轴是直线，当时，，∴点M的坐标为（，）；

∴点M的坐标为（，）时，取最大值为；

（3）存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似．

设点坐标为，

在中，∵，∴，

在中，∵，∴，

∴，，

过点作于点，过点作轴于点，如图，

∵，，∴∽，

∵，

∴①当时，∽，

∴，解得，，（舍去）

∴点的纵坐标为，∴点为；

②当时，∽，

∴，解得（舍去），（舍去），

∴此时无符合条件的点；

综上所述，存在点．