Question

【题目】△ABC内接于⊙O，AT切⊙O于点A，AB＝BC，且AT∥BC．

（1）如图1，求证：△ABC是等边三角形；

（2）如图2，点M在射线AT上，连接CM交⊙O于点D，连接BD交AC于点E，AF∥CM交BC于点F，求证：AE＝CF；

（3）如图3，在（2）的条件下，延长BA、CM交于点G，若BD＝40，CD＝25，求AG的长．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)21

【解析】

（1）连接AO，延长AO交BC于D，如图1，利用切线的性质得OA⊥BC，则AD⊥BC，利用垂径定理可判断AD垂直平分BC，所以AB＝AC，然后根据等边三角形的定义可得到结论；

（2）如图2，先利用等边三角形的性质得∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，再∠1＝∠3，然后利用“ASA”可证明△ABE≌△CAF，从而得到AE＝CF；

（3）作CH⊥BD于H，如图3，利用圆周角得到∠BDC＝∠BAC＝60°，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出DH＝，CH＝，则BH＝，再利用勾股定理计算出BC＝35，接着证明△GAM∽△GBC，利用相似比得到AM＝，证明△GAM∽△BDC，利用相似比得到AM＝AG，所以＝AG，然后解方程可得到AG的长．

（1）证明：连接AO，延长AO交BC于D，如图1，

∵AT切⊙O于点A，

∴OA⊥BC，

∵AT∥BC，

∴AD⊥BC，

∴BD＝CD，

即AD垂直平分BC，

∴AB＝AC，

而AB＝BC，

∴AB＝BC＝AC，

∴△ABC是等边三角形；

（2）证明：如图2，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，

∵AF∥CM，

∴∠1＝∠2，

而∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

在△ABE和△CAF中

，

∴△ABE≌△CAF，

∴AE＝CF；

（3）解：作CH⊥BD于H，如图3，

∵∠BDC＝∠BAC＝60°，

∴DH＝CD＝，

∴CH＝DH＝，BH＝BD﹣DH＝40﹣＝，

在Rt△BCH中，BC＝＝35，

∵AM∥BC，

∴△GAM∽△GBC，

∴＝，即＝，

∴AM＝，

∵AM∥BC，

∴∠GAM＝∠ABC＝60°，∠GMA＝∠GCB，

∴∠BDC＝∠GAM，∠DCB＝∠GMA，

∴△GAM∽△BDC，

∴＝，即＝，

∴AM＝AG，

∴＝AG，

∴AG＝21．