Question

如图，?ABCD中，∠DBC=45°，高线DE、BF交于点H，BF、AD的延长线交于点G；联结AH．
（1）求证：BH=AB；
（2）求证：AH•BG=AG•BD．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据已知利用AAS判定△BEH≌△DEC，从而得到BH=DC，由平行四边形的性质得DC=AB，则可以得到AB=BH；
（2）根据两组角对应相等的两个三角形相似得到△GDB∽△GHA，相似三角形的对应边成比例，所以AH•BG=AG•BD．

解答：（1）证明：
∵DE、BF是高，
∴∠BED=∠DEC=∠BFC=90°，
∴∠EBH+∠C=90°，∠EDC+∠C=90°∠DBC+∠EDB=90°
∴∠EDC=∠EBH，
∵∠DBC=45°，
∴∠EDB=∠DBC=45°，
∴BE=DE，
在△BEH与△DEC中，

∠EBH=∠EDC BE=DE ∠BED=∠DEC

，
∴△BEH≌△DECASA），
∴BH=DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴BH=AB；                
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ADB=∠DBC=45°，
∴AB∥DC，
∴∠ABH=∠BFC=90°，
∵AB=BH，
∴∠BHA=∠BAH=45°，
∵∠GDB+∠ADB=180°，∠GHA+∠AHB=180°
∴∠GHA=∠GDB，
又∵∠G=∠G，
∴△GHA∽△GDB，
∴

GA

GB

=

AH

BD

，
即AH•BG=AG•BD．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用是解此题的关键．