Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）的顶点A在以P（1，1）为圆心，2为半径的圆上，且经过⊙P与x轴的两个交点B、C，AP⊥x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求⊙P的弦AC在第一象限内形成的弓形（阴影部分）的面积；
（3）在抛物线上能否找到一点D，使线段DP与OA互相平分？如果能，求出D点坐标，如果不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据B、C两点在⊙P上，在Rt△BPE与Rt△CPE中，得出PB=PC=2，EP=1，进而求出B，C的坐标；利用交点式求出二次函数解析式即可；
（2）首先利用锐角三角函数关系得出∠APC的度数，进而利用S_阴影=S_扇形APC+S_△PEC-S_△AEC求出即可；
（3）根据若满足条件的点D存在，四边EADO一定是平行四边形，也即一定有AE∥OD，OD=AE，由AE∥OD，可知点D在y轴上，又知D在抛物线y=-（x-1）²+3上，即可的求出．

解答：解：（1）依题意AE⊥x轴，则点A的坐标为（1，3）
连接PB，
∵B、C两点在⊙P上，在Rt△BPE与Rt△CPE中，
∵PB=PC=2，PE=1，
∴BE=EC=

3

，
∴OB=BE-EO=

3

-1；OC=OE+EC=1+

3

，
∴B（2-

3

，0），C（1+

3

，0）；
根据交点式，设抛物线的解析式为：y=a（x-1+

3

）（x-1-

3

），
又∵点A（1，3）在抛物线上，
∴3=a（1-1+

3

）（1-1-

3

），
解得：a=-1，
故抛物线的解析式为：y=-（x-1）²+3，
即y=-x²+2x+2，

（2）∵EP=1，PC=2，PE⊥EC，
∴∠PEC=60°，
∴∠APC=120°，
∴S_阴影=S_扇形APC+S_△PEC-S_△AEC=

120π×22

360

+

1

2

×1×

3

-

1

2

×

3

×3=

4π

3

-

3

2

；

（3）满足条件的D点存在．
若满足条件的点D存在，四边形PADO一定是平行四边形，也即一定有AP∥OD，OD=AP，
由AP∥OD，可知点D在y轴上，又知D在抛物线y=-（x-1）²+3上，
可令x=0，得y=2，
∴D（0，2），
此时恰好OD=AP=2，
所以D（0，2）为所求．

点评：此题主要考查了直角三角形的性质以及交点式求二次函数解析式，以及平行四边形的性质，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．