Question

15．解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}+4xy+{y}^{2}=9}\\{{x}^{2}+5xy-6{y}^{2}=0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 原方程组变形可得$\left\{\begin{array}{l}{{（2x+y）}^{2}=9}&{①}\\{（x-y）（x+5y）=0}&{②}\end{array}\right.$，由②知x=y或x=-5y，据此分两种情况分别求解可得．

解答 解：原方程组变形可得$\left\{\begin{array}{l}{{（2x+y）}^{2}=9}&{①}\\{（x-y）（x+5y）=0}&{②}\end{array}\right.$，
由②得x-y=0或x+5y=0，
即x=y或x=-5y，
当x=y时，代入①，得：9x²=9，
解得x=1或x=-1，
此时方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$、$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$；
当x=-5y时，代入②，得：81y²=9，
解得：y=$\frac{1}{3}$或y=-$\frac{1}{3}$，
此时方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$、$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{3}}\\{y=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$；
综上，方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{3}}\\{y=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查高次方程的求解，熟练掌握化归思想的运用是解题的关键．