Question

如图1，等边△ABC中，BD是高，CO平分∠ACB，交BD于点O．
（1）求证：BO=2DO；
（2）连接AO，求∠AOB的度数；
（3）将图1中的∠DOC绕点O逆时针方向旋转a角度（60°＜a＜120°）时，如图2，∠DOC的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求证：∠BMO=∠NMO．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）证明点O为△ABC的重心，即可解决问题．
（2）证明∠BAO+∠ABO=60°，借助三角形的内角和定理即可解决问题．
（3）如图，作辅助线；证明△MOE∽△NOF，得到

ON

OM

=

NF

EO

，根据OE=OF，得到

ON

OM

=

NF

OF

；借助∠NOF=∠MON=60°，得到△NOF∽△MON，即可解决问题．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，BD是高，CO平分∠ACB，
∴点O为△ABC的重心，
∴BO=2DO．
（2）∵△ABC是等边三角形，且点O为其重心，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAO+∠ABO=30°+30°=60°，∠AOB=180°-60°=120°，
即∠AOB的度数为120°．
（3）过点O作EF∥BC；则△AEF为等边三角形，AO平分∠EAF；
∴∠AEF=∠AFE=60°，EO=FO；
∵∠MOF=∠AEO+∠EMO=∠MON+∠NOF，且∠MON=60°，
∴∠NOF=∠PME，
∴△MOE∽△NOF，
∴

ON

OM

=

NF

EO

，而OE=OF，
∴

ON

OM

=

NF

OF

，且∠NOF=∠MON=60°，
∴△NOF∽△MON，
∴∠NOF=∠OMN，
∴∠BMO=∠NMO．

点评：该题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用相似三角形的判定及其性质等几何知识点来分析、推理、证明．