Question

8．如图1，∠DBC和∠ECB是△ABC的两个外角．
（1）用直尺和圆规分别作∠DBC和∠ECB的平分线，设它们相交于点P；
（2）过点P分别画直线AB、AC、BC的垂线段PM、PN、PQ；
（3）连接AP，说明：AP平分∠BAC．

Answer 1

分析 （1）利用基本作图（作一个已知角的平分线）作BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，两角平分线相交于P；
（2）利用基本作图（过一点作已知直线的垂线）可作出PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PQ⊥BC于Q；
（3）根据角平分线的性质得PM=PQ，PQ=PN，则PM=PN，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可判断AP平分∠BAC．

解答 解：（1）如图，BP和CP为所作；
（2）PM、PN、PQ为所作；
（3）∵PB和PC分别平分∠DBC和∠ECB，
而PM⊥BD，PQ⊥BC，PN⊥CE，
∴PM=PQ，PQ=PN，
∴PM=PN，
∴PA平分∠BAC．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质定理及其逆定理．