题目内容
12．如图1，△ABC和△ADE为等边三角形，D，E分别在AC，AB上，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE．△AMN是等边三角形．请回答下列问题．
（1）如图2，当把△ADE绕点A旋转到点E恰好落在AC上时．
①CD与BE还相等吗？若相等，请证明；若不等，请说明理由；
②△AMN还是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．
（2）如图3，当把△ADE绕点A旋转到点E恰好落在C、D的连线段上时．
①求证：AD∥BE；
②若此时AD⊥AC，且△ADE的面积为3，则四边形ABCD的面积为15．
分析 （1）①可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，由于全等三角形的对应边相等，所以CD=BE．
②利用SAS判定△ABM≌△ACN，根据全等三角形的对应边相等，可以证明△AMN是等边三角形．
（2）①利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的对应角相等即可证明；
②根据三角形的面积进行解答即可．
解答 解：（1）①CD=BE．理由如下：
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD=BE；
②△AMN是等边三角形．理由如下：
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∵M、N分别是BE、CD的中点，
∴BM=CN，
在△ABM和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=CN}\\{∠ABM=∠CAN}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC，
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
∴△AMN是等边三角形；
（2）①∵∠BAE=∠BAC+∠CAE，∠DAC=∠DAE+∠CAE，
∴∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠D=∠BEA，
∵在等边△DAE中，∠D=∠DAE，
∴∠BAE=∠DAE，
∴AD∥BE；
②∵AD⊥AC，且△ADE的面积为3，
∴四边形ABCD的面积为15．
故答案为：15．
点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质．关键是根据等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答．
实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升$\frac{5}{6}$cm，
有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（ ）| A． | a＞b | B． | a+b＞0 | C． | ab＜0 | D． | |a|＜|b| |
如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s．点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动，在运动过程中，△EBF关于直线EF对称图形是△EB′F，设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．
如图，在△ABC中，AB=AC．分别以B、C为圆心，BC长为半径，BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．若BC=6，∠BAC=50°，求弧ED，弧FD的长度之和（结果保留π）．
如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，CD⊥AB于点D，E为$\widehat{BC}$上一点，$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$，AE与CD相交于点F，与CB相交于点G．