Question

【题目】如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t(s)，△PDQ的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示．

（1）AB＝　 　cm，点Q的运动速度为　 　cm/s；

（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止．

①当点O在QD上时，求t的值；

②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）30，6；（2）①；②≤t≤．

【解析】

（1）设点Q的运动速度为a，则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，可列出关于a的方程，即可求出点Q的速度，进一步求出AB的长；

（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，用含t的代数式分别表示出OF，QC的长，由OF＝QC可求出t的值；

②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，证△QHP是等腰直角三角形，分别用含t的代数式表示CG，QM，PM，再表示出QP，由QP＝QH可求出t的值；同理，如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，可求出t的值，即可写出t的取值范围．

（1）设点Q的运动速度为a，

则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，

∵AP＝6t，

∴S△PDQ＝(60﹣6×5)×5a＝450，

∴a＝6，

∴AB＝5a＝30，

故答案为：30，6；

（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，

QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，

∵OF∥QC且点F是DC的中点，

∴OF＝QC，

即4t＝ (90﹣6t)，

解得，t＝；

②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，

如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，

∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，

∴HP＝QH＝AB＝30，

∴△QHP是等腰直角三角形，

∵CG＝DN＝OF＝4t，

∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，

∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，

∵QP＝QH，

∴150﹣20t＝30，

∴t＝；

如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，

∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，

∴HP＝QH＝AB＝30，

∴△QHP是等腰直角三角形，

∵CG＝DN＝OF＝4t，

∴QM＝QG＝4t﹣(90﹣6t)＝10t﹣90，

PM＝PN＝4t﹣(60﹣6t)＝10t﹣60，

∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，

∵QP＝QH，

∴20t﹣150＝30，

∴t＝，

综上所述，当PQ与⊙O有公共点时，t的取值范围为：≤t≤．