Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足为E，F．
（1）求证：△ACE≌△CBF；
（2）当直线l不与底边AB相交时，试探索EF、AE、BF三条线段的大小关系，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据垂直的定义可得∠AEC=∠CFB=90°，然后求出∠EAC=∠FCB，再利用“角角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得EC=BF，AE=CF，再根据EF=EC+CF等量代换即可得解．

解答：（1）证明：∵AE⊥EF，BF⊥EF
∴∠AEC=∠CFB=90°，
∴∠EAC+∠ECA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠FCB+∠ECA=90°，
∴∠EAC=∠FCB，
在△ACE和△CBF中，

∠AEC=∠CFB ∠EAC=∠FCB AC=CB

，
∴△ACE≌△CBF（AAS）；

（2）解：EF=AE+BF．
理由如下：∵△ACE≌△CBF，
∴EC=BF，AE=CF，
∴EF=EC+CF=AE+BF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判断方法并找出全等的条件是解题的关键．