Question

12．已知P是⊙O外的一点，且PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，OP交AB于点C，OP=5，cos∠APC=$\frac{4}{5}$．
（1）求⊙O的半径；
（2）求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）由PA为圆O的切线，利用切线的性质得到三角形AOP为直角三角形，根据sin∠APC的值得出sin∠APO的值，利用锐角三角函数定义及OP的长求出OA的长，即为圆的半径；
（2）根据PA、PB是⊙O的两条切线，得到PA=PB，由于OA=OB，推出OP垂直平分AB，根据三角形的面积公式即可求解．

解答 解：（1）∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴∠PAO=90°，
∵cos∠APC=$\frac{4}{5}$，OP=5，
∴AP=4，
∴OA=3；

（2）∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴PA=PB，∵OA=OB，
∴OP垂直平分AB，
∵AC=$\frac{OA•AP}{OP}$=$\frac{12}{5}$，
∴AB=2AC=$\frac{24}{5}$．

点评 此题考查了切线的性质，切线长定理，以及解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．