Question

20．如图  A是以BC为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线交于点D，E是BD的中点，延长AE与CB的延长线相交于点F．求证：AF是⊙O的切线．

Answer 1

分析 利用直角三角形斜边中线的性质和等边对等角得到∠EAB=∠EBA，结合⊙O的切线得出OA⊥AF，从而得出AF是⊙O的切线．

解答 解：连接AB，OA，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵DB是⊙O的切线，
∴DB⊥BC，
∴∠DBO=90°，
在RT△ABD中，E是斜边BD的中线，
∴AE=DE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠EAB+∠OAB=∠EBA+∠OBA，
∴∠EAO=∠DBO=90°，
∴OA⊥AF，
∴AF是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，作出适当的辅助线是解答此题的关键．