Question

10．如图，已知抛物线y=-x²+2x+1交x轴于A、B点，交y轴于C点，直线l过点C，D（-1，0）两点且交抛物线于P点，求四边形ABPC的面积．

Answer 1

分析 根据抛物线解析式求得点A、B、C的坐标，由点C、D的坐标得到直线CD的解析式，联合直线与抛物线方程求得点P的坐标，则四边形ABPC的面积=△ABP的面积-△ACD的面积．

解答 解：由y=-x²+2x+1得到：A（1-$\sqrt{2}$，0），B（1+$\sqrt{2}$，0），C（0，1）．
设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0）．
把C（0，1），D（-1，0）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
则直线CD的解析式为：y=x+1．
所以$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
则点P的坐标是（0，1）（舍去，与点C重合）或（1，2）．
∴S_{四边形ABPC}=S_△ADP-S_△ACD=$\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{2}$）×2-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×1=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即四边形ABPC的面积是2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题可转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数与一次函数图象的交点问题．运用数形结合的思想是解决本题的关键．