Question

4．如图，△OBC为等边三角形，AD∥BC，AD=3，BC=7，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE=∠B，PE交CD于E．
（1）求证：△APB∽△PEC；
（2）求AB的长；
（3）若CE=3，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）由△OBC为等边三角形，可得∠B=∠C，又由∠APE=∠B，利用三角形外角的性质，可证得∠BAP=∠EPC，即可证得：△APB∽△PEC；
（2）由△OBC为等边三角形，AD∥BC，易得△OAD是等边三角形，继而求得AB的长；
（3）首先设BP=x，然后由△APB∽△PEC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答 （1）证明：∵△OBC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APE+∠CPE=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，
∴∠BAP=∠CPE，
∴△APB∽△PEC；

（2）解：∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠B=60°，∠ODA=∠C=60°，
∴△OAD是等边三角形，
∴OA=AD=3，
∵△OBC为等边三角形，
∴OB=BC=7，
∴AB=OB-OA=4；

（3）解：设BP=x，则CP=BC-BP=7-x，
∵△APB∽△PEC，
∴$\frac{AB}{CP}=\frac{BP}{CE}$，
∴$\frac{4}{7-x}=\frac{x}{3}$，
解得：x₁=3，x₂=4，
∴BP=3或4．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．注意利用方程思想求解是解此题的关键．