Question

14．如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=4．E为CD边上一点，CE=6．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
（1）求AE的长；
（2）当t为何值时，△PAE为直角三角形？
（3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在直角△ADE中，利用勾股定理进行解答；
（2）需要分类讨论：AE为斜边和AP为斜边两种情况下的直角三角形；
（3）假设存在．利用角平分线的性质，平行线的性质以及等量代换推知：∠PEA=∠EAP，则PE=PA，由此列出关于t的方程，通过解方程求得相应的t的值即可．

解答 解：（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4，
∴CD=AB=9，∠D=90°，
∴DE=9-6=3，
∴AE=$\sqrt{D{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；

（2）①若∠EPA=90°，t=6；
②若∠PEA=90°，（6-t）²+4²+5²=（9-t）²，
解得t=$\frac{2}{3}$．
综上所述，当t=6或t=$\frac{2}{3}$时，△PAE为直角三角形；

（3）假设存在．
∵EA平分∠PED，
∴∠PEA=∠DEA．
∵CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAP，
∴∠PEA=∠EAP，
∴PE=PA，
∴（6-t）²+4²=（9-t）²，
解得t=$\frac{29}{6}$．
∴满足条件的t存在，此时t=$\frac{29}{6}$．

点评 本题考查了四边形综合题，综合勾股定理，直角三角形的性质，一元二次方程的应用等知识点，要注意分类讨论，以防漏解．