Question

5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当AB=AC时，求证四边形ADCF是矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）首先利用全等三角形的判定方法得出△AEF≌△DEB（AAS），进而得出AF=BD，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案；
（2）由AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，继而可得四边形ADCF是矩形；
（3）根据∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，从而得到AD=$\frac{1}{2}$BC=DC，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论．

解答 证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠EBD．  
在△AEF和△DEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠FEA=∠BED}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（AAS）．            
∴AF=BD．                   
∴AF=DC．
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF为平行四边形；

（2）∵AB=AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形ADCF是矩形；

（3）当∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形．
证明：∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∵四边形ADCF是平行四边形，
∴平行四边形ADCF是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定及矩形的判定的知识，解题的关键是牢记几个判定定理，难度不大．