Question

把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起(如图①)，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点按顺时针方向旋转(旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图②)．

(1)在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；

(2)连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)BH＝CK，四边形CHGK的面积不变，∵△ABC为等腰直角三角形，O为其斜边中点， 　　∴CG＝BG，CG⊥AB，∴∠ACG＝∠B＝45°． 　　又∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，∴∠BGH＝∠CGK 　　△BGH≌△CGK，∴BH＝CK，S△BGH＝S△CGK 　　∴S四边形CHGK＝S△CHG＋S△CGK＝S△CHG＋S△BGH＝4 　　(2)AC＝BC＝4，BH＝x 　　CH＝4－x，CK＝x 　　∴S△GKH＝S四边形CHGK－S△CHK 　　∴y＝4－x(4－x) 　　∴y＝x2－2x＋4 　　∵0°＜α＜90° 　　∴0＜x＜4 　　(3)存在x2－2x＋4＝×8 　　∴x1＝1，x2＝3 　　∴x＝1或x＝3时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的．